第39讲：《常系数线性微分方程及其求解方法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、常系数齐次线性微分方程的求解思路与步骤

阶常系数齐次线性微分方程

基于线性微分方程解的结构有如下通解求解步骤与过程：

第一步：写出对应的特征方程

将换成，将阶数换成次数(其中0阶导数即0次)，得微分方程的特征方程为

第二步：求特征根

在复数范围内解特征方程，得个特征根.

第三步：根据特征根，写出个特解

(1) 如果特征根为重实根，则微分方程有个线性无关的特解：

(2) 如果特征根为重复数根，则也为重复数根，则微分方程有个线性无关的特解：

以上所有的和的和等于特征方程的次数，即微分方程的阶数，由此可得微分方程个线性无关的特解，分别把它们记作

第四步：依据齐次线性微分方程解的结构，写出通解

阶齐次常系数线性微分方程的通解为

其中为个任意常数.

二、常系数非齐次线性微分方程的求解思路与方法

阶齐次常系数线性微分方程

右边项(系数与上面齐次线性方程相同)为的阶常系数非齐次线性微分方程为

基于线性微分方程解的结构，有如下阶非齐次常系数线性微分方程通解的求解方法与过程：

第一步：用特征方程法求对应常系数齐次线性微分方程的通解

第二步：用待定函数法求非齐次微分方程的特解

如果右边函数项不符合标准类型，则需要借助于换元法，或基于叠加原理分解成如下标准类型求解：

• 情形1

其中是次多项式。可设特解为

其中是作为齐次线性微分方程特征根的重数，是次待定多项式，即

其中为待定系数.

• 情形2

其中为次多项式，为次多项式，为次多项式，；都可设特解为

其中是作为特征根的重数，，是次待定多项式，对于第三种类型. 其中第三种情形必须指数函数的指数表达式相同，即都为；正弦、余弦函数的表达式相同，即都为，否则必须拆分为前面两种情形单独计算.

第三步：基于非齐次线性微分方程解的结构性质，写出通解

【注】如果借助叠加原理将f(x)拆分成几个符合以上情形的函数的和，然后分别求特解，则原特解为几个特解的和. 具体参见课件中的例题与练习.

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参考课件

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